6 - L’arrivée des machines
et la clé des codes secrets
Les notes de Riemann retrouvées dans la bibliothèque de Göttingen où il avait enseigné montrent qu’il s’était intéressé à l’hydrodynamique en parallèle à ses recherches sur les nombres premiers ; qu’il « avait développé sa démonstration sur les bulles de fluide en rotation » (p. 439), anticipant de plusieurs siècles ses successeurs !
On rêvait, à la fin du XIXe siècle, d’une machine universelle « qui allait donner aux mathématiciens un nouvel outil pour poursuivre une exploration du monde des nombres » (p.287).
L’une des premières réalisations, la machine de Charles Babbage, est telle que « le moteur analytique tisse des tracés algébriques comme le métier de Jacquard tisse des fleurs et des feuillages » (p. 292).
On rêvait, à la fin du XIXe siècle, d’une machine universelle « qui allait donner aux mathématiciens un nouvel outil pour poursuivre une exploration du monde des nombres » (p.287).
L’une des premières réalisations, la machine de Charles Babbage, est telle que « le moteur analytique tisse des tracés algébriques comme le métier de Jacquard tisse des fleurs et des feuillages » (p. 292).
Charles Babbage.
La croyance en l’inutilité des mathématiques, acte de foi de Hardy comme de beaucoup d’autres mathématiciens, est battue en brèche par l’invention des premières machines à calculer puis des ordinateurs de plus en plus performants : « Les “vraies" mathématiques des “vrais” mathématiciens, les mathématiques de Fermat, Euler, Gauss, Abel et Riemann sont presque totalement “inutiles” (et cela vaut tant pour les mathématiques “appliquées” que pour les mathématiques “pures”). On ne saurait justifier la vie d’un authentique mathématicien professionnel en prétextant de “l’utilité” de ses travaux » (p. 341). Mais cette utilité, comme nous le verrons, au lieu d’être mise au service du beau, du bien et du vrai, va l’être à celui des services secrets d’espionnage durant la dernière guerre mondiale, puis du commerce international, source de tant d’injustices humaines.
La machine Lorenz utilisée par les Allemands
durant la Seconde Guerre mondiale.
La question se posa très vite de savoir si les machines pouvaient penser ! Ces machines aboutiraient-elles à « une formule pour engendrer tous les nombres premiers » (p. 271) ? Elles rendraient inutiles les mathématiciens !
Mersenne avait prédit, inconsidérément, que 2257- 1 était premier. Il n’avait pas prévu que les machines rendraient très vite sa prédiction caduque. En 1950, les premières machines arrivent à 1104 nombres premiers avant de tomber en panne (p. 295). « Le 30 janvier 1952, un calculateur découvrit les premiers nombres premiers situés au-delà des capacités de calcul du cerveau humain (p. 317).
En 1956, les 25 000 premiers zéros de la droite de Riemann étaient répertoriés (p. 300).
En 1978, Richard Brent annonce « que les soixante quinze premiers millions de zéros se trouvaient bien sur la droite. » (p. 332) Mais cela n’exclut pas un contre-exemple possible !
Les choses s’accélèrent et, en 1996, en Californie, le 7e plus grand nombre premier est calculé 21 257 787–1. Un nombre déjà inouï qui n’est encore rien ! En 2001, 213 466 917–1 à 4 millions de chiffres !
Là, au contraire de l’habitude, les machines calculent les solutions, mais il reste toujours à trouver l’équation ! Don Zagier, trouvant 3 millions de 0 alignés sur la droite de Riemann, sait que cela n’est pas la preuve qu’un jour un 0 ne sera pas hors de cette droite ! « En gros, c’est égal à zéro preuve. Trois millions de zéros, ça commence à être intéressant » (p. 330) pourtant, mais ce n’est… rien !
Les Grecs démontrèrent il y a deux mille ans que tout nombre peut être exprimé comme le produit de nombres premiers, mais aucun moyen rapide n’a été trouvé à ce jour pour permettre, étant donné un nombre quelconque aussi grand soit-il, sa décomposition en facteurs premiers. Il aura fallu attendre l’invention des ordinateurs pour pouvoir effectuer des calculs immensément longs et fastidieux, surtout pour reconnaître si un nombre est premier.
Mais voilà qu’une utilisation des plus grands nombres premiers se fit jour dans la cryptographie, celle des services secrets, puis celle du commerce international sur Internet.
La « cryptographie à clé publique », mise au point par Whit Diffie et Marin Hellman, proposée pour la première fois en 1976, utilise les codes mathématiques pour la sécurité bancaire et assure l’inviolabilité des cartes bancaires et des achats sur Internet en utilisant des nombres premiers à 50, 100, 600 chiffres et plus.
Le code secret « Enigma », que les sous-marins allemands utilisaient durant la dernière guerre mondiale pour communiquer entre eux, a pu être cassé par Turing qui construisit des machines capables de le percer (p. 293). Il « présentait davantage de combinaisons possibles qu’il n’y avait d’étoiles dans l’univers » (id.).
Mersenne avait prédit, inconsidérément, que 2257- 1 était premier. Il n’avait pas prévu que les machines rendraient très vite sa prédiction caduque. En 1950, les premières machines arrivent à 1104 nombres premiers avant de tomber en panne (p. 295). « Le 30 janvier 1952, un calculateur découvrit les premiers nombres premiers situés au-delà des capacités de calcul du cerveau humain (p. 317).
En 1956, les 25 000 premiers zéros de la droite de Riemann étaient répertoriés (p. 300).
En 1978, Richard Brent annonce « que les soixante quinze premiers millions de zéros se trouvaient bien sur la droite. » (p. 332) Mais cela n’exclut pas un contre-exemple possible !
Les choses s’accélèrent et, en 1996, en Californie, le 7e plus grand nombre premier est calculé 21 257 787–1. Un nombre déjà inouï qui n’est encore rien ! En 2001, 213 466 917–1 à 4 millions de chiffres !
Là, au contraire de l’habitude, les machines calculent les solutions, mais il reste toujours à trouver l’équation ! Don Zagier, trouvant 3 millions de 0 alignés sur la droite de Riemann, sait que cela n’est pas la preuve qu’un jour un 0 ne sera pas hors de cette droite ! « En gros, c’est égal à zéro preuve. Trois millions de zéros, ça commence à être intéressant » (p. 330) pourtant, mais ce n’est… rien !
Les Grecs démontrèrent il y a deux mille ans que tout nombre peut être exprimé comme le produit de nombres premiers, mais aucun moyen rapide n’a été trouvé à ce jour pour permettre, étant donné un nombre quelconque aussi grand soit-il, sa décomposition en facteurs premiers. Il aura fallu attendre l’invention des ordinateurs pour pouvoir effectuer des calculs immensément longs et fastidieux, surtout pour reconnaître si un nombre est premier.
Mais voilà qu’une utilisation des plus grands nombres premiers se fit jour dans la cryptographie, celle des services secrets, puis celle du commerce international sur Internet.
La « cryptographie à clé publique », mise au point par Whit Diffie et Marin Hellman, proposée pour la première fois en 1976, utilise les codes mathématiques pour la sécurité bancaire et assure l’inviolabilité des cartes bancaires et des achats sur Internet en utilisant des nombres premiers à 50, 100, 600 chiffres et plus.
Le code secret « Enigma », que les sous-marins allemands utilisaient durant la dernière guerre mondiale pour communiquer entre eux, a pu être cassé par Turing qui construisit des machines capables de le percer (p. 293). Il « présentait davantage de combinaisons possibles qu’il n’y avait d’étoiles dans l’univers » (id.).
Enigma.
Aucun programme crédible n’a été trouvé jusqu’à ce qu’au département du MIT(28), Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adleman mettent au point le système de cryptographie qui sera appelé RSA d’après les initiales des auteurs. C’est un algorythme asymétrique de cryptographie à clé publique très utilisé dans le commerce électronique et pour échanger des données confidentielles sur Internet, ainsi que par les services secrets. La factorisation est si difficile qu’il faut un temps incommensurable pour y parvenir et les transactions Internet sont sécurisées par le système de cryptographie RSA (p. 353). On se demandait « si même la durée de vie de l’univers ne suffisait pas à trouver les nombres premiers qui composaient les grands nombres » (p. 360). Ce qu’on croyait purement théorique s’averra extrêmement pratique ! « RSA avait tout du rêve d’espion devenu réalité : un code indéchiffrable. » Il y avait tant de nombres premiers à vérifier que la confiance en l’invulnérabilité du système semblait justifiée (p. 361).
Cependant, il n’a fallu que dix-sept ans pour casser le système RSA ! Si demain un mathématicien peut le casser en dix-sept minutes, tout le commerce bancaire actuel s’effondre ! En combinant plusieurs centaines d’ordinateurs dans 24 pays, le code RSA 129 put être décomposé en huit mois ; les nombres premiers utilisés n’étaient qu’à 65 et 54 chiffres ! 10 000 dollars sont à empocher pour qui cassera un de ces nombres RSA à 160 chiffres (p. 365). Chaque fois qu’un codage peut être cassé, il suffit d’augmenter la taille des nombres premiers pour relancer la sécurité. On atteint actuellement l’utilisation d’horloges de Gauss à 600 chiffres (p. 366) !
« Quel soulagement ce serait pour les chefs d’entreprises si nous pouvions leur garantir qu’il est impossible de trouver un programme capable de factoriser rapidement les nombres. Or il est manifestement ardu de démontrer qu’une telle chose n’existe pas » (p. 370). Il existe cependant le test de Miller-Rabin, mais « il ne fonctionne pour les très grands nombres que si l’on peut démontrer l’hypothèse de Riemann » (p. 375). En 2002, trois mathématiciens indiens inconnus développèrent une alternative élégante à ce test, surprenant la communauté mondiale des chercheurs sur les nombres premiers (id.). « Il est fascinant de voir à quel point la Nature a été généreuse avec la communauté des cryptographes. Elle a donné un moyen simple et rapide de produire des nombres premiers à partir desquels il est possible de bâtir la cryptographie sur Internet, tout en continuant de nous refuser une façon aussi rapide de décomposer les nombres en nombres premiers. Mais pendant combien de temps encore sera-t-elle du côté du cryptographe ? » (p. 376).
Un autre codage fut mis au point, basé sur les courbes elliptiques. A peine fut-il utilisé qu’un mathématicien assura l’avoir cassé ! « C’était un moment terrifiant » (p. 387) affirmes Neal Koblitz. Mais ce mathématicien allemand, l’a sauvé en trouvant un détail qui avait échappé au casseur. Il « n’aime rien tant que de donner des conférences sur toute cette saga, sous le titre Comment les mathématiques pures ont failli causer la chute du commerce électronique » (p. 388).
Andrew Odlyzko avançant vers le nord jusqu’à 1020 dans les calculs de distances entre les zéros mis en évidence une correspondance extraordinaire (p. 415). Magie pure et simple pour Stanford Persi Diaconis, et non tour de la Nature (p. 418). Diaconis, spécialiste de l’analyse du mélange des cartes, « a dévoilé la supercherie du “code de la Bible” censé permettre de déchiffrer des messages dans le texte hébreu d’origine » (p 415).
Zagier dépeignit, dans son article Les cinquante premiers millions de nombres premiers, « comment les zéros du paysage de Riemann pourraient servir à créer des ondes qui reproduisaient comme par magie le nombre de nombres premiers que l’on peut s’attendre à croiser quand on compte plus loin » (p. 426).
Les Nombres Premiers à cent chiffres ne sont pas seulement des clefs que la contre-nature actuelle utilise pour la protection des numéros de cartes de crédit et des sites d’ordinateur. Ils permettent le cryptage des codes secrets de tous les services d’espionnage. Ainsi de mathématiques pures deviennent-ils moyen d’asservissement, de domination, de guerre. Certes, quelques rares mathématiciens, comme Alexander Grothendieck, préférèrent démissionner ; ce qu’il fit, en 1970, « quand il s’aperçut que certains financements privés de l’Institut [des Hautes Etudes Scientifiques] provenaient de sources militaires » (p. 462). Déjà, en 1966, pour s’opposer au durcissement militaire soviétique, il avait refusé de se rendre à Moscou pour la remise de la médaille Fields que lui avaient valu ses progrès dans le domaine de la géométrie algébrique.
Les milliards offerts actuellement par Cray du laboratoire de recherche AT&T de New Jersey à qui trouvera le moyen de casser les codes secrets actuels sont un enjeu ridicule ! La vanité qui pousse certains à vouloir laisser leur nom dans l’histoire de l’humanité est bien dérisoire !
27 - Tchouang-tseu, chap. XXVI.
28 - MIT : Massachusetts Institute of Technology ou MIT, spécialisé dans la recherche scientifique et technologique.
28 - MIT : Massachusetts Institute of Technology ou MIT, spécialisé dans la recherche scientifique et technologique.
