Introduction :
Ce qu’est un nombre premier
Depuis toujours, le lien s’est fait entre Musique et Mathématiques, de façon très surprenante parfois, comme c’est le cas pour ce qui est appelé la « Symphonie des Nombres Premiers ».
Qu’est un Nombre Premier ? C’est tout simplement un nombre qui n’est divisible que par lui-même et par l’unité : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Ils sont les premiers d’une série de nombres qu’ils engendrent par multiplication : ce sont leurs multiples. Il y a deux mille ans, Euclide démontra magistralement que cette suite est indéfinie(1) .
Tous les élèves en classe de troisième ont utilisé le « Crible d’Eratosthène » pour dresser le début de leur liste : en écrivant les cent premiers nombres, ou plus, il suffit de rayer successivement 1, puis les multiples de 2, les multiples de 3, de 5, de 7, etc. et les nombres restants sont premiers.
Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inférieurs à une limite n pas trop grande, le crible d'Ératosthène est une méthode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barré de cette liste, 2 (à ce stade aucun nombre n'est barré), et on barre tous les entiers multiples de 2. On répète l'opération en considérant chaque fois le prochain nombre non barré et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barrés à la fin du processus sont les nombres premiers inférieurs à n. (On peut en fait arrêter le processus dès que les nombres non barrés encore à considérer sont supérieurs à la racine carrée de n, car leurs multiples auront déjà été barrés.)
Cette méthode devient vite longue et fastidieuse. Aucune formule, aucune équation n’a été trouvée à ce jour, malgré l’ardeur mise par des générations de mathématiciens dans leur recherche, pour en dresser la liste.
Les Grecs mirent en évidence que tout nombre non premier peut être décomposé en produit de nombres premiers. La question se posa très vite de savoir comment reconnaître si un nombre est ou n’est pas premier. Pour cela, on le divise successivement par la suite des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, etc. Ainsi 63 = 3x3x7, 693 est divisible par 3 : ils ne sont pas premiers. Mais 697 ? Il n’est divisible ni par 2, ni par 3, mais par 7, il égale 7x91et n’est pas premier.
Deux nombres premiers jumeaux, comme 17 et 19 par exemple, ne sont séparés que par un seul nombre.
Plus on avance dans les grands nombres, plus les problèmes à résoudre s’avèrent ardus. Cette recherche des nombres premiers et de leur décomposition s’est poursuivie depuis des siècles ; plus encore, la recherche d’une formule, d’une équation permettant d’en dresser la liste à coup sûr fut qualifiée de la plus noble « Quête du saint Graal des mathématiques » !
Note de bas de page:
Qu’est un Nombre Premier ? C’est tout simplement un nombre qui n’est divisible que par lui-même et par l’unité : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Ils sont les premiers d’une série de nombres qu’ils engendrent par multiplication : ce sont leurs multiples. Il y a deux mille ans, Euclide démontra magistralement que cette suite est indéfinie(1) .
Tous les élèves en classe de troisième ont utilisé le « Crible d’Eratosthène » pour dresser le début de leur liste : en écrivant les cent premiers nombres, ou plus, il suffit de rayer successivement 1, puis les multiples de 2, les multiples de 3, de 5, de 7, etc. et les nombres restants sont premiers.
Pour rechercher une liste de tous les nombres premiers inférieurs à une limite n pas trop grande, le crible d'Ératosthène est une méthode simple et efficace : on part de la liste des entiers de 2 à n. On prend le premier nombre non barré de cette liste, 2 (à ce stade aucun nombre n'est barré), et on barre tous les entiers multiples de 2. On répète l'opération en considérant chaque fois le prochain nombre non barré et en barrant ses multiples. Les nombres qui restent non barrés à la fin du processus sont les nombres premiers inférieurs à n. (On peut en fait arrêter le processus dès que les nombres non barrés encore à considérer sont supérieurs à la racine carrée de n, car leurs multiples auront déjà été barrés.)
Cette méthode devient vite longue et fastidieuse. Aucune formule, aucune équation n’a été trouvée à ce jour, malgré l’ardeur mise par des générations de mathématiciens dans leur recherche, pour en dresser la liste.
Les Grecs mirent en évidence que tout nombre non premier peut être décomposé en produit de nombres premiers. La question se posa très vite de savoir comment reconnaître si un nombre est ou n’est pas premier. Pour cela, on le divise successivement par la suite des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, etc. Ainsi 63 = 3x3x7, 693 est divisible par 3 : ils ne sont pas premiers. Mais 697 ? Il n’est divisible ni par 2, ni par 3, mais par 7, il égale 7x91et n’est pas premier.
Deux nombres premiers jumeaux, comme 17 et 19 par exemple, ne sont séparés que par un seul nombre.
Plus on avance dans les grands nombres, plus les problèmes à résoudre s’avèrent ardus. Cette recherche des nombres premiers et de leur décomposition s’est poursuivie depuis des siècles ; plus encore, la recherche d’une formule, d’une équation permettant d’en dresser la liste à coup sûr fut qualifiée de la plus noble « Quête du saint Graal des mathématiques » !
Note de bas de page:
1 - Là où les mathématiciens actuels emploient indûment l’adjectif « infini », nous usons du mot « indéfini » : qui n’a pas de fin. « L’infini est proprement ce qui n’a pas de limites ; on ne peut donc sans abus appliquer ce mot à autre chose qu’à ce qui n’a absolument aucune limite, c’est-à-dire au Tout universel qui inclut en soi toutes les possibilités, et qui, par suite, ne saurait être en aucune façon limité par quoi que ce soit ; l’Infini, ainsi entendu, est métaphysiquement et logiquement nécessaire, car non seulement il ne peut impliquer aucune contradiction, ne renfermant en soi rien de négatif, mais c’est au contraire sa négation qui serait contradictoire. » René Guénon, "Les Principes du Calcul infinitésimal", Gallimard, Paris, p. 13-14). En ce sens, en toute rigueur, une suite de nombres tout comme une droite ne peut être dite « infinie » ; elle n’a simplement pas de fin, mais est bien loin d’inclure tous les possibles.
René Guénon.
