De Fibonacci à Connes, la recherche pure.

5 - La recherche pure

et le théorème d’incomplétude de Gödel

Si l’hypothèse de Riemann est vraie, quantité de choses sont démontrables, mais, dans le cas contraire, elles s’écrouleraient comme un château de sable !
Traditionnellement, dans l’Antiquité puis durant le Moyen Âge et la Renaissance, les mathématiques, en particulier la géométrie sacrée, servirent essentiellement à produire beauté et harmonie dans la construction des temples, des églises et des cathédrales, dans l’art en général. Que de merveilles devons-nous à la divine proportion, à la suite de Fibonacci, les œuvres humaines imitant en cela la Nature !

Portrait de Fibonacci.

Les mathématiques pures sont remarquables. Inutiles apparemment au départ, prétendent-elles ! Et voilà que « la révolution géométrique de Riemann a donné à Einstein le langage par lequel décrire la physique de l’infiniment grand ; la géométrie de Connes donne aux mathématiciens la possibilité d’atteindre la géométrie bizarre de l’infiniment petit » (p.467).

Alain Connes.

Au point de départ, l’équation ; à l’arrivée le graphe « imaginaire » introduisant une quatrième dimension mathématique, qui n’a rien à voir avec la quatrième dimension des physiciens, le temps comme nous l’avons déjà mentionné. « Les mathématiciens ont recours à leur esprit pour tenter de “voir” ces structures » (p.137). Ils voyagent dans des paysages incroyables qu’ils sont les seuls à pouvoir explorer. Un « voir » qui, comme celui du nagual toltèque don Juan, ou comme celui des yogis ou des mystiques, n’a rien à voir avec les yeux ! « Le seul véritable voyage, ce ne serait pas d’aller vers de nouveaux paysages, mais d’avoir d’autres yeux.(20) » Chaque avancée dans la recherche provient d’un nouveau « voir » ; ceux qui, comme Hugh Montgomery en 1960, eurent la chance d’avoir très tôt comme professeurs des créateurs de système et non des répétiteurs, surent ce qu’étaient véritablement les mathématiques (p. 391).
Pour tout chercheur de Vérité, la concentration et la solitude sont des armes. La « vérité absolue » n’est pas « un concept » ! Certes elle est, dans un certain sens, mathématique, puisqu’elle est « l’absence de dualité(22) », mais touche au Réel, ce qui est… bien au-delà des nombres dits « réels » !
L’inspiration du mathématicien n’est pas différente de celle de tout être inspiré qui peut adhérer à ce qu’affirme André Weil : « Tout mathématicien digne de ce nom a fait l’expérience (…) de cet état de lucidité exaltée où les pensées se succèdent comme par miracle… » (p. 455). Sa preuve tenait du miracle, mais elle avait encore un talon d’Achille. Weil avait été passionné par les langues anciennes et lisait les épopées grecques et indiennes en version originale (p. 446). La Bhagavad Gîta l’accompagna toute sa vie. Il liait les formes sophistiquées de la linguistique, et en particulier du sanskrit, au développement de ses nouvelles idées mathématiques.
Poincaré étudiait la Nature « parce qu’elle le réjouit. Et elle le réjouit parce qu’elle est belle » (p. 18). Le défi absolu est de faire retour à l’Etat de Nature !

Jules Henri Poincaré.

Le domaine du mathématicien existe en dehors de l’esprit (humain, au sens que lui donne Jean-Pierre Changeux dans ses limites de neurobiologiste). Il existe en l’Esprit, cet Esprit dont il est dit « l’Esprit féconde Matière ». Alain Connes rejoint les éternelles vérités en maintenant contre vents et marées que quelque chose « existe, indépendamment de l’esprit humain » ! Une réalité mathématique « brute et immuable » (pp.20-21) ? Oui certes, et plus encore, la réalité qu’est chaque humain dans son Principe éternel, immuable ; ce qu’il est « alors qu’il n’était pas(23) » né dans ce monde de l’espace-temps.
La théorie mathématique du « chaos », « les mathématiques qui se cachent derrière les fractales, permettent d’expliquer pourquoi, si les règles de la Nature sont simples, la réalité, elle, a l’air infiniment complexe » (p. 422). « Un infime changement dans le déroulement d’une expérience entraîne une différence énorme dans le résultat » (id.). Elle vint aussi influencer l’interprétation du paysage de l’hypothèse de Riemann.
Cantor, vers 1870, fut considéré par ses pairs comme hérétique en montrant qu’il y a plusieurs sortes d’infinités. En comparant deux ensembles indéfinis de nombres, celui des nombres entiers et celui des nombres pairs par exemple, l’un est plus grand que l’autre. Le premier contient deux fois plus de nombres que le second mais les deux sont infinis. Les mathématiciens confondent toujours « infini » et « indéfini »(24) .

Mais un séisme extraordinaire allait secouer le monde des mathématiques dont les bases paraissaient sûres, malgré quelques inquiétudes. « Deux millénaires s’étaient écoulés depuis Euclide, et jamais une contradiction n’avait été décelée, mais cela ne voulait pas dire qu’il n’y en avait pas » (p. 176). Hilbert fut profondément troublé par le fait que « personne n’avait jamais démontré que la théorie des nombres elle-même ne comportait pas de contradiction. » (id.) Il avait soulevé une question troublante : « Somme-nous certains que nous ne pourrons jamais prouver qu’un énoncé est à la fois vrai et faux ? » (p. 274). La question de Hilbert était si grave que Bertrand Russel, dans "Principia Mathematica", offrit un moyen de résoudre les paradoxes mathématiques (p. 274).

Bertrand Russel.

Mais le coup fatal fut porté par Kurt Gödel : « Il était impossible d’utiliser les axiomes des mathématiques pour prouver que ces axiomes ne débouchaient jamais sur des contradictions. » ! Le rêve de Hilbert s’écroulait ! Il était impossible de « prouver qu’aucune contradiction ne se ferait jour » (p. 276). L’univers mathématique était basé sur du sable ! « On peut disposer d’une théorie sans contradiction, mais on ne peut pas prouver qu’à l’intérieur de cette théorie ne se dissimulaient pas des contradictions » (id.).
D’où cette constatation d’André Weil, lors de l’après Gödel, : « Dieu existe puisque l’univers mathématique est consistant, et le Diable (25) existe puisque l’on ne peut le prouver » (p. 277) ! Les mathématiques ne peuvent sortir de la dualité inhérente à la Manifestation ! L’illusion était dramatiquement mise en évidence.

Kurt Gödel.

Hilbert, à l’aube du XXe siècle, rêvait « qu’il existait peut-être une méthode ou un algorithme universel à même de déterminer si n’importe quelle équation avait une solution ou non » (p. 281). De son « Rien n’est inconnaissable », on en était en 1930 à « montrer que l’ignorance faisait partie intégrante des mathématiques » (p. 277). Comme d’ailleurs de toute science… En effet, « les physiciens découvraient alors, grâce au principe d’incertitude d’Heisenberg, qu’il existait des limites à ce qu’ils pouvaient faire » (id.). « Le principe de l’incertitude d’Heisenberg dit que l’on ne peut jamais savoir avec précision la position et la vitesse d’une particule » (p. 465). L’ordre dans lequel se fait la mesure influe sur le deuxième terme du binôme.

Mais la deuxième bombe de Gödel était encore plus dévastatrice : « Si les axiomes des mathématiques sont consistants, alors il y aura toujours des énoncés vrais sur les nombres qui ne pourront jamais être formellement démontrés par les axiomes » (p. 278). L’ancienne éthique remontant à l’origine de nos mathématiques s’effondre avec « le théorème d’incomplétude de Gödel : tout système d’axiomes consistant est nécessairement incomplet dans la mesure où il y aura des énoncés vrais qui ne pourront être déduits des axiomes » (id.).

Paul Cohen, reprenant l’un des problèmes posés par Hilbert, réussit à construire « deux mondes mathématiques différents qui satisfaisaient les axiomes dont nous nous servons. Dans l’un de ces mondes, la réponse à la question de Cantor était “oui”, dans l’autre, “non” » (p. 309-310). Ou bien certaines questions n’obtiennent pas de réponse par « oui » ou par « non », mais il est possible de démontrer « que l’on pouvait choisir quelle réponse était juste. (p. 432) Les simplismes tombent !

Georg Cantor.

En science, la classification périodique des éléments de Dimitri Mendeleïev ne prouve en rien que les Anciens avaient tort de considérer la matière comme constituée de quatre éléments : Terre, Air, Eau et Feu, auxquels s’ajoute d’ailleurs un cinquième, l’Ether. Chacune de ces réponses est juste selon ce qu’on veut bien considérer. La chimie n’aurait jamais dû se couper de l’alchimie.

Une question cruciale se posait alors aux mathématiciens : l’hypothèse de Riemann serait-elle démontrable, indémontrable ou indécidable ?
Démontrer un théorème à partir d’un ensemble reconnu d’axiomes, telle était la règle reconnue jusque-là. Or, le théorème de Gödel établit que la proposition contient toujours une conjecture indémontrable.
Et Gödel de dire à Hugh Montgomery que « rien ne disait que la conjecture des nombres premiers jumeaux était démontrable à partir des axiomes existants de la théorie des nombres » (p. 393) ! Elargir les fondations axiomatiques des mathématiques, c’était risquer d’identifier de plus en plus de problèmes comme étant sans solution (p. 394) !
« La prédiction de Montgomery suggérait que les zéros étaient peut-être agencés de façon tout à fait uniforme le long de la droite, contrairement à la répartition aléatoire à laquelle il s’était attendu » (p. 398).
Il rencontre alors par hasard, miraculeusement dira-t-il, Freeman Dyson qui lui expliqua « que ces mathématiques étranges servaient aux physiciens quantiques à prédire les niveaux d’énergie dans le noyau d’un atome lourd quand il est bombardé de neutrons à énergie faible » (p.404). Une étrange ressemblance unissait les zéros de Riemann et les niveaux d’énergie ! Les nombres imaginaires « confèrent à la physique quantique son côté étrangement probabiliste » (p. 408). Observer un électron, c’est invariablement modifier son comportement, et le monde quantique « n’existe que dans le monde des nombres imaginaires » (p. 409), et dans ce monde l’électron non observé peut être à deux endroits différents ! Dans le monde quantique on voit non l’événement « mais l’ombre que l’événement projette dans notre monde “réel” des nombres ordinaires » (id.). « Avant qu’on ne l’observe, un électron vibre comme un tambour, à une combinaison de fréquences différentes. » (id.) Les tambours quantiques furent inventés par Max Born et Werner Heisenberg. « Un zéro échappant à la droite serait comme un niveau d’énergie imaginaire, quelque chose que les équations de la physique quantique ne toléraient pas » (p. 413).
Physiciens et mathématiciens se rejoignaient devant un « vide » contenant tous les possibles échappant à leur sagacité. Ils s’occupaient maintenant d’expériences non sensorielles de la réalité. Chacun d’eux devient un mystique, au sens originel du terme : le mystique est celui qui a « une connaissance dont la nature intime est “mystère”, qui ne peut donc être pleinement communiquée par la parole ; ceci ne signifie nullement qu’elle soit incertaine ni qu’elle soit vague dans ses manifestations ; au contraire, elle rayonne dans l’ordre humain selon des lois strictes.(26) » Tous se retrouvent devant la nécessité d’intégrer des paradoxes. « La nature fondamentale des choses est toujours impossible à nommer, à expliquer. On ne peut l’exprimer dans aucune langue.(27) » Fut-ce la langue des mathématiques !
On ne peut mieux définir l’Illusion qu’est la manifestation que par l’aphorisme d’Einstein : « Pour autant que les lois mathématiques renvoient à la réalité, elles sont incertaines, et pour autant qu’elles sont sûres, elles ne font plus référence à la réalité. »
Une Intelligence non-humaine induit la création des formes par-delà les paradoxes apparents.

Albert Einstein.

20 - Marcel Proust, A la recherche du temps perdu, cité p. 390.

21 - L’Instruction du Verseur d’Eau, op.cit.
22 - Emmanuel-Yves Monin, Le Manuscrit des paroles du Druide sans nom et sans visage, Ed. y. Monin, 2005.
23 - Maître Eckart, Sermons.
24 - Voir note 1.
25 - La Langue des Oiseaux montre que d’I-eu est tout simplement le déploiement de l’unité du multiple depuis le Point Source. D’I-A-Ble, depuis ce Point Source de l’axe du I, se fait la manifestation de la « boule », autrement dit, la dualité. Voir Hiéroglyphes français et Langue des Oiseaux, Emmanuel-Yves Monin, Le Point d’Eau, 1982.
26 -Titus Burckhardt, préface de De l’Homme Universel d’Abd Al-Karîm Al-Jîlî

Le philosophe Jean Guitton professe :

« Je crois qu’avant la Création règne une durée infinie, un Temps Total, inépuisable, qui n’a pas encore été ouvert, partagé en passé, présent et avenir. A ce temps-là ; ce temps qui n’a pas encore été séparé en un ordre symétrique dont le présent ne serait que le double miroir, à ce temps absolu qui ne passe pas, correspond la même énergie, totale, inépuisable.[1] »

[1] - Dieu et la science, op. cit., p. 51-52.