Sciences profanes et Sciences sacrées
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Les Nombres Premiers :
leurs secrets,leurs mystères
et les recherches qu'ils provoquent...
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Géométrie

 
 

4 - Les nombres premiers

et la musique des sphères

 
"Lorsque tu connaitras le Rythme Sidéral et la Musique des Sphères ton âme ravie baignera dans la LUMIERE DE LA JOIE CELESTE."
(Karuna, "Du Maître à l'élève", Les Editions de la Promesse)




 
L’héroïne de Carl Sagan, dans le roman Contact, lorsqu’elle reconnaît dans les pulsions du signal radio parvenu jusqu’à elle depuis une culture extraterrestre la suite des nombres premiers y voit justement « le signe d’une vie intelligente » (p. 21).
Lorsque les jumeaux autistes, dont parle Olivier Sacks dans son livre L’homme qui prenait sa femme pour un chapeau, jubilent en échangeant entre eux des nombres premiers à huit chiffres (p. 22), ils plongent le mathématicien dans un profond mystère. Par quel prodige peuvent-ils faire ce qu’aucun mathématicien ne peut comprendre ? C’est que les autistes, refusant la contre-nature dans laquelle toute la société actuelle est plongée, refusant de communiquer avec la déviation « par rapport à l’Origine[1] », sont à l’écoute de la Source de toutes les Sources et ne se laissent pas enfermer dans la déviation ; ils peuvent percevoir « l’harmonie subtile » (p. 23) que le monde mathématique ne fait que vouloir percer avec un mental humain qui n’est pas l’outil requis, tout comme il n’est pas l’outil requis pour trouver la réponse à un koan. Ils entendent « la musique » et ne font pas seulement que la conjecturer.
 
[1] - Voir L’instruction du Verseur d’eau, op. cit.

La réponse à un koan peut jaillir de l’Esprit dans un état particulier d’inspiration. Euler abdique bien vite en écrivant : « Certains mystères échapperont toujours à l’esprit humain. Pour nous en convaincre, il suffit de jeter un œil au tableau des nombres premiers, et l’on verra qu’il n’y règne ni ordre, ni règle » (p. 76), apparemment... Pourtant, comme Pythagore qui, dans l’harmonie des nombres, entendait « la musique des sphères » (p. 122), Euler expliquait « la beauté de certaines combinaisons de notes » (p. 123) par les nombres premiers.
Combien Godfrey Hardy a-t-il raison de penser que, dans une preuve mathématique solide, « les idées doivent s’adapter harmonieusement. La beauté est le premier test : dans le monde, il n’y a pas de place pour la laideur mathématique (…) Une démonstration mathématique devrait ressembler à une constellation simple et d’une netteté parfaite, pas à une Voie lactée éparpillée » (p. 124). Ainsi en est-il de la beauté et de l’harmonie de la suite additive, de tant d’autres suites également, puis du « produit d’Euler » (p. 128). Que de pistes ouvertes pour cerner l’indiscernable !
Harmonies et beauté unissent de manière impérissable musique et mathématiques. L’instrument de musique le plus simple et le plus ancien, le yakadi des Aborigènes d’Australie, lorsqu’il est joué de la manière traditionnelle, libère des harmoniques extraordinaires. Rend-il audible la suite harmonique des nombres premiers ?
Gauss, lui, en entendait la symphonie et Riemann en libéra « toute la puissance des harmonies secrètes que masquait la cacophonie des nombres premiers » (p. 94). Johan Peter Gustav Lejeune Dirichlet, glissant le livre de Gauss Disquisitiones Arithmeticae « sous son oreiller dans l’espoir qu’au matin, la lecture aurait soudain un sens » (p. 120), agit comme tout mystique dans sa quête. Personne ne saura jamais si c’est cela qui lui permit de pénétrer dans la compréhension de ce « livre aux sept sceaux », et, les brisant, d’en répandre les trésors (id.) !
 


Johan Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
 
« Pythagore avait révélé l’harmonie musicale qui se dissimulait dans une suite de fractions en tapant sur une amphore. Marin Mersenne et Euler, tous deux maîtres des nombres premiers, étaient à l’origine de la théorie mathématique de l’harmonie. Mais aucun d’entre eux n’avait supposé qu’il y avait des relations directes entre la musique et les nombres premiers » (p. 149). 
 


Marin Mersenne.
 
Joseph Fourier montra que « quand on fait vibrer un diapason, et que l’on dessine ensuite l’onde sonore qui en résulte, on obtient une courbe sinusoïdale pure, parfaite » (p. 151). Pour le violon, « on décèle des notes additionnelles, les harmoniques, qui correspondent à de simples fractions de la longueur de la corde (…). C’est la combinaison de toutes ces notes pures, dominées par la note fondamentale la plus grave, qui crée le son du violon, dont le graphe ressemble à une dent de scie » (p. 152). 
 


Joseph Fourrier.
 
« Les ondes de Riemann, qu’il a créées à partir des zéros, ces points situés au niveau de la mer dans son paysage, étaient comme les sons émis par les diapasons, des notes simples et claires, dépourvues d’harmoniques » (p. 154). « En combinant toutes ces ondes, il s’était retrouvé avec un orchestre qui entonnait la symphonie des nombres premiers » (p. 155).
Après les travaux de Gauss et de Riemann, les mathématiciens « s’efforçaient de comprendre la musique qui passait par tous les nombres premiers » (p. 180). Michael Berry dit : « L’hypothèse de Riemann est une proposition mathématique selon laquelle il est possible de décomposer les nombres premiers en musique. Dire des nombres premiers qu’ils recèlent en eux une musique est une façon poétique de décrire ce théorème mathématique. Reste que la musique en question est franchement post-moderne » (cité p. 135), précise-t-il !
 
 

Michaël Berry.
 
Berry dira que cette interprétation « veut qu’il y ait de la musique dans les nombres premiers » (id.). « Il avait coutume de faire écouter un enregistrement de la musique de Riemann, un bruit blanc, grave et grondant » (p. 426). Il pouvait faire fusionner la physique quantique, le chaos et les nombres premiers (p. 428). Les zéros de Riemann sont des vibrations mais « nous ne savons pas ce qui les fait vibrer » disait-il (id.) !
 
 




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